Question

4．在平行四邊形ABCD中，求證：|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=2（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²）．

Answer 1

分析 在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，由向量數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算化簡(jiǎn)即可得證．

解答 證明：在平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
即有|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BD}$|²=$\overrightarrow{AC}$²+$\overrightarrow{BD}$²
=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）²+（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）²=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$
=2（${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$）=2（|$\overrightarrow{AB}$|²+|$\overrightarrow{AD}$|²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的運(yùn)用，主要考查向量的加減運(yùn)算和向量的數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．