設函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f′（x），f′（x）在區(qū)間（a，b）的導函數(shù)f″（x），若在區(qū)間（a，b）上的f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，已知，若當實數(shù)m滿足|m|≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上為“凸函數(shù)”，則b-a的最大值為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】分析：利用函數(shù)總為“凸函數(shù)”，即f″（x）＜0恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，討論解不等式即可．
解答：解：當|m|≤2時，f″（x）=x2-mx-3＜0恒成立等價于當|m|≤2時，mx＞x2-3恒成立．
當x=0時，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當x＞0，x-＜m
∵m的最小值是-2，∴x-＜-2，從而解得0＜x＜1；
當x＜0，x-＞m
∵m的最大值是2，∴x-＞2，從而解得-1＜x＜0．
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）max=1-（-1）=2
故選B．
點評：本題考查函數(shù)的導數(shù)與不等式恒成立問題的解法，關鍵是要理解題目所給信息（新定義），考查知識遷移與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) fk(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�
A、K的最大值為2
B、K的最小值為2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)：fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)＞K
，取函數(shù)f(x)=(
1
2
)|x|，當K=
1
2
時，函數(shù)fK（x）的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（a，b）上的導數(shù)為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導數(shù)為f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為“凸函數(shù)”．若函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則m=
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（-x）=f（4+x），f（4-x）=f（10+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，f（x）=0僅有兩個根x=1和x=3，則方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2011，2011]上根的個數(shù)有
805
805
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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