Question

已知直線l交橢圓于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A（0，4），且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心，則直線l的方程為________．

Answer 1

6x+5y-8=0
分析：先由橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心，得相交弦BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)B、C在橢圓上，利用點(diǎn)差法，將中點(diǎn)坐標(biāo)代入即可的直線l的斜率，最后由直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程即可．
解答：設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0）
∵點(diǎn)A（0，4），且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△ABC的重心
∴=2，=0
∴x₁+x₂=6，y₁+y₂=-4 ①
∵，
∴兩式相減得：+=0
將①代入得：=，即直線l的斜率為k=
∵直線l 過BC中點(diǎn)（3，-2）
∴直線l的方程為y+2=（x-3）
故答案為6x-5y-28=0
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何意義，直線與橢圓的位置關(guān)系，特別注意當(dāng)已知相交弦中點(diǎn)時(shí)點(diǎn)差法的運(yùn)用，體會設(shè)而不求的解題思想