Question

11．有下列命題：
①函數(shù)y=cos（x+$\frac{π}{2}$）是偶函數(shù)；
②y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ+$\frac{5π}{4}$，2kπ+$\frac{7π}{4}$]，k∈Z；
③直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）圖象的一條對(duì)稱軸；
④函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)增函數(shù)；
⑤點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)y=tan（x+$\frac{π}{3}$）圖象的對(duì)稱中心；
⑥若f（sinx）=cos6x，則f（cos15°）=0．
其中正確命題的序號(hào)是③④⑤⑥．

Answer 1

分析 利用誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)函數(shù)y=cos（x+$\frac{π}{2}$）的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性，可判斷①；
利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的單調(diào)遞增區(qū)間，可判斷②；
求出函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）圖象的對(duì)稱軸方程，可判斷③；
判斷函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上的單調(diào)性，可判斷④；
求出函數(shù)y=tan（x+$\frac{π}{3}$）圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)，可判斷⑤；
根據(jù)已知，求出f（cos15°）的值，可判斷⑥．

解答 解：①函數(shù)y=cos（x+$\frac{π}{2}$）=-sinx是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；
②y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））=y=lg（-sin（x-$\frac{π}{4}$）），
由x-$\frac{π}{4}$∈（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+π），k∈Z得：x∈（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z；
即y=lg（sin（$\frac{π}{4}$-x））的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ+$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z，故錯(cuò)誤；
③由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z得：x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）圖象的一條對(duì)稱軸，故正確；
④當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）時(shí)，t=x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），此時(shí)y=sint為增函數(shù)，
故函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{6}$）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$）上是單調(diào)增函數(shù)，故正確；
⑤由x+$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，得：x=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
當(dāng)k=1時(shí)點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0）是函數(shù)y=tan（x+$\frac{π}{3}$）圖象的對(duì)稱中心，故正確；
⑥若f（sinx）=cos6x，則f（cos15°）=f（sin75°）=cos（6×75°）=cos450°=0，故正確．
故正確命題的序號(hào)是：③④⑤⑥，
故答案為：③④⑤⑥

點(diǎn)評(píng) 判斷三角函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱，單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題是本章的熱點(diǎn)考點(diǎn)，解答這類問(wèn)題的關(guān)鍵是關(guān)鍵是熟記正弦，余弦與正切函數(shù)的變換規(guī)律．如正弦函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，余弦函數(shù)y=cosx是偶函數(shù)，y=sinx的對(duì)稱中心是使函數(shù)值等于0時(shí)的x的值等知識(shí)點(diǎn)，考查綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．