Question

設(shè)函數(shù)f（t）對任意的整數(shù)x、y，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，且f（1）=1．
（I）當(dāng)t∈Z時(shí)，用t的代數(shù)式表示g（t）=f（t+1）-f（t）；
（II）當(dāng)t∈Z時(shí)，求函數(shù)f（t）的解析式；
（Ⅲ）如果x∈[-1，1]，a∈R，且[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，進(jìn)行賦值，分別令x=t，y=1，代入化簡即可得到結(jié)論；
（II）由（I）知f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

，分別令t=1，2，3，…，得出t-1個(gè)式子，將這t-1個(gè)式子相加后化簡即可得到函數(shù)f（t）的解析式；
（III）由（II）可知[f(t)]

x

2

=tx，從而不等式[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a，可轉(zhuǎn)化為1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a，也即(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x＞a最后利用而函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（I）由題設(shè)可令x=t，y=1，得f（t+1）=f（t）+f（1）+2t
∵f（1）=1
∴f（t+1）=f（t）+1+2t
∴g(t)=f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

…（3分）
（II）由（I）知f(t+1)-f(t)=2t+1

，(t∈Z)

∴f（2）-f（1）=2×1+1，
f（3）-f（2）=2×2+1，
f（4）-f（3）=2×3+1，
…，
f(t)-f(t-1)=2×(t-1)+1

，(t∈Z)

∴f（t）-f（1）=2[1+2+3+…+（t+1）]+（t-1）=t²-1
∴當(dāng)t∈Z時(shí)，函數(shù)f（t）的解析式為f(t)=

t2，(t∈Z)

…（7分）．
（III）由（II）可知[f(t)]

x

2

=tx，
所以不等式[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a，
可轉(zhuǎn)化為1+2^x+3^x+4^x+…+2012^x＞2013^x•a
也即(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x＞a…（9分）
而函數(shù)g(x)=(

1

2013

)x+(

2

2013

)x+(

3

2013

)x+…+(

2012

2013

)x在x∈[-1，1]上單調(diào)減，
所以要使x∈[-1，1]，[f(1)]

x

2

+[f(2)]

x

2

+…+[f(2012)]

x

2

＞[f(2013)]

x

2

•a恒成立，
則有a＜g（x）_min，
而g(x)min=g(1)=

1

2013

(1+2+3+…+2012)=1006，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1006）…（12分）．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)的求值、計(jì)算與證明問題，抽象函數(shù)是相對于函數(shù)有具體解析式而言的，賦值法是解決抽象函數(shù)的一把“利劍”，本題屬于中檔題．