Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2，
（1）求復(fù)數(shù)z及復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內(nèi)所成角．
（2）設(shè)z、z²、z-z²在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）令z=x+yi，根據(jù)|z|=

2

，z²的虛部為2建立方程求出復(fù)數(shù)z，由其位置判斷出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內(nèi)所成角
（2）由（1）求出z、z²、z-z²，在復(fù)平面內(nèi)找出對就的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出三角形的面積

解答：解：（1）令z=x+yi∴

x2+y2=2 2xy=2

∴

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∴z=1+i，或z=-1-i
當(dāng)z=1+i時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內(nèi)所成角θ=45°，
當(dāng)z=-1-i時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內(nèi)所成角θ=225°
故復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內(nèi)所成角為45°或225°．
（2）當(dāng)z=1+i時(shí)，z²=2i，z-z²=1-i，z、z²、z-z²在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A（1，1）、B（0，2）、C（1，-1），
故|AC|=2，點(diǎn)B到直線AC的距離是1，所以S_△ABC=1，
同理當(dāng)z=-1-i時(shí)，S_△ABC=1，
∴S_△ABC=1

點(diǎn)評：本題考查三角形中的幾何計(jì)算及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的幾何意義，再由題設(shè)中的條件求解，求面積，本題涉及到三角計(jì)算，得數(shù)的運(yùn)算，向量的夾角，綜合性強(qiáng)，轉(zhuǎn)化靈活，解題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)．