Question

設x，y∈R，

i

，

j

分別為直角坐標系中與x軸、y軸正半軸同方向的單位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（Ⅰ）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設拋物線y=-

x2

12

+3的頂點為P，直線l過點P與曲線C交于A，B兩點，是否存在這樣的直線l，使得以AB為直徑的圓過原點，若存在，求出直線方程；若不存在，請說明理由？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由|

a

|+|

b

|=8，結合向量模的計算公式可得

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，即動點（x，y）到兩定點（0，-2）和（0，2）的距離之和為定值2

2

，由橢圓的定義可得：點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）當直線l⊥x軸時，不合題意．當直線l不垂直于x軸時，設直線l方程為：y=kx+3，聯(lián)立方程后，設出A，B兩點坐標，結合韋達定理和向量垂直的充要條件求出k值，可得答案．

解答： 解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，
故

a

=（x，（y+2）），

b

=（x，（y-2）），
又∵|

a

|+|

b

|=8，
∴

x2+(y+2)2

+

x2+(y-2)2

=8，
即動點（x，y）到兩定點（0，-2）和（0，2）的距離之和為定值2

2

，
由橢圓的定義可得：
點M（x，y）的軌跡C的方程為

y2

16

+

x2

12

=1…（5分）
（2）因拋物線方程為：x²=-12（y-3），故P（0，3），F(xiàn)（0，0）．
當直線l⊥x軸時，不合題意．
當直線l不垂直于x軸時，設直線l方程為：y=kx+3，
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，…（7分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且△＞0恒成立，
則x1+x2=-

18k2

3k2+4

；x1x2=-

21

3k2+4

，
又∵FA⊥FB?x₁x₂+y₁y₂=0…（10分）
可得：k2=

5

16

⇒k=±

5

4

，
則所求的直線方程為：y=±

5

4

x+3…（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合應用，向量垂直的充要條件，橢圓的定義，是圓錐曲線與向量的綜合應用，難度中檔．