Question

已知橢圓的長半軸是短半軸的倍，直線經(jīng)過
橢圓C的一個焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)一條直線 l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

解：（1）與x軸的交點為，
∴
又 ，c²=a²-b²=2
∴，b=1
橢圓C的方程為：． （5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①當AB⊥x軸時，，、
或、
則：（6分）
②當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由已知，得．
把y=kx+m代入橢圓方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，（8分）
△=（6km）²-12（3k²+1）（m²-1）=3（9k²+1）＞0
，．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²===． （12分）
當且僅當，即時等號成立．
由①、②可知：|AB|_max=2．
∴當|AB|最大時，△AOB面積取最大值．（14分）
分析：（1）根據(jù)直線經(jīng)過橢圓C的一個焦點，可求c．利用長半軸是短半軸的倍，可求橢圓C的方程；
（2）分類討論：AB⊥x軸時；AB與x軸不垂直，將直線方程代入橢圓方程，進而可求AB的長，從而可表示△AOB面積，故可求面積的最大值．
點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，組成方程組，進而利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．