Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實(shí)數(shù)（x₁，y₂）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”，給出下列六個(gè)集合：
①M(fèi)={（x，y）|y=-

1

x

}
②M={（x，y）|y=x²-1}
③M={（x，y）|y=e^x-2}
④M={（x，y）|y=cosx}
⑤={（x，y）|y=2+sinx}
⑥M={（x，y）|y=lnx}，
其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是

 

（寫出所有是“垂直對點(diǎn)集”的序號）．

Answer 1

分析：對于①，利用x₁•x₂+

1

x1•x2

=0無實(shí)數(shù)解，判斷其正誤即可．
對于③，畫出函數(shù)y=e^x-2圖象，利用圖象說明函數(shù)滿足“垂直對點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對于④，畫出函數(shù)y=cosx圖象，利用圖象說明函數(shù)滿足“垂直對點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對于⑥，取一個(gè)特殊點(diǎn)（1，0）說明不滿足“垂直對點(diǎn)集”定義．

解答：解：對于①，注意到x₁•x₂+

1

x1•x2

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故x₁•x₂+

1

x1•x2

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0無實(shí)數(shù)解，因此①不是“垂直對點(diǎn)集”； 
對于②，如下圖，注意到過原點(diǎn)任意作一條直線與曲線y=x²-1相交，過原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線y=x²-1相交，因此②是“垂直對點(diǎn)集”；

對于③，如下圖，注意到過原點(diǎn)任意作一條直線與曲線y=e^x-2相交，過原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線y=e^x-2相交，因此③是“垂直對點(diǎn)集”；

對于④，如下圖，注意到過原點(diǎn)任意作一條直線與曲線y=cosx相交，過原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線y=cosx相交，因此④是“垂直對點(diǎn)集”；

對于⑤，注意到對于點(diǎn)（0，2）不存在（x₂，y₂）∈M，使得0×x₂+2×2+sinx₂=0，因?yàn)閟inx₂=-2與正弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1，1]，因此⑤不是“垂直對點(diǎn)集”．
對于⑥，注意到對于點(diǎn)（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因?yàn)閤₂=0與真數(shù)的限制條件x₂＞0矛盾，因此⑥不是“垂直對點(diǎn)集”．
故答案為：②③④

點(diǎn)評：點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對新定義的理解，是中檔題．