Question

已知點(diǎn)P是⊙O：x²+y²=9上的任意一點(diǎn)，過(guò)P作PD垂直x軸于D，動(dòng)點(diǎn)Q滿足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)E（1，1），在動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)M、N，使（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，求出直線MN的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)Q（x，y），利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合在⊙O上即可得到點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題的解決方法，可假設(shè)存在．由向量關(guān)系式得E（1，1）是線段MN的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及橢圓的方程式，得到直線MN的斜率值，從而求得直線的方程．結(jié)果表明存在．
解答：解：（1）設(shè)P（x，y），Q（x，y），依題意，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（x，0）（1分）
∴（2分）
又∴（4分）
∵P在⊙O上，故x²+y²=9∴（5分）
∴點(diǎn)Q的軌跡方程為（6分）
（2）假設(shè)橢圓上存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）滿足，則E（1，1）是線段MN的中點(diǎn)，且有
又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上
∴
兩式相減，得（12分）
∴∴直線MN的方程為4x+9y-13=0
將直線MN的方程代入橢圓方程檢驗(yàn)得：52x²-104x-155=0則△＞0有實(shí)根
∴橢圓上存在點(diǎn)M、N滿足，此時(shí)直線MN的方程為4x+9y-13=0（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題在向量與圓錐曲線交匯處命題，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、曲線方程的求法、橢圓的定義以及等價(jià)轉(zhuǎn)化能力．