(本小題滿分14分)

已知函數(shù),(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(Ⅰ)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在上無零點,求a的最小值;

(III)若對任意給定的,在上總存在兩個不同的,使得成立,求a的取值范圍.

 

【答案】

(Ⅰ)的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為

(Ⅱ)若函數(shù)上無零點,則的最小值為;

(III)當時,對任意給定的上總存在兩個不同的,使成立.

【解析】(I)當a=1時,解析式確定直接利用得到函數(shù)f(x)的增(減)區(qū)間.

(II)解本小題的關(guān)鍵是先確定上恒成立不可能,故要使函數(shù)上無零點,只要對任意的恒成立,即對恒成立.

再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求l(x)的最大值即可.

(III)解本小題的突破口是時,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,函數(shù) 單調(diào)遞減.

所以,函數(shù)時,不合題意;再確定時的情況.

解:(Ⅰ)當時,

       

的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為         ………………………………4分

(Ⅱ)因為上恒成立不可能,故要使函數(shù)上無零點,

只要對任意的恒成立,即對恒成立.          

再令

上為減函數(shù),于是

從而,,于是上為增函數(shù)

故要使恒成立,只要

綜上,若函數(shù)上無零點,則的最小值為……………………8分

(III)時,函數(shù)單調(diào)遞增;

時,函數(shù) 單調(diào)遞減

所以,函數(shù)時,不合題意;

時,  

故必需滿足  ①

此時,當 變化時的變化情況如下:

0

+

單調(diào)減

最小值

單調(diào)增

∴對任意給定的,在區(qū)間上總存在兩個不同的

 

 
使得成立,當且僅當滿足下列條件② ③

  

,得[來源:Z#xx#k.Com]

時, 函數(shù)單調(diào)遞增;當時,函數(shù)單調(diào)遞減.

所以,對任意即②對任意恒成立. 

由③式解得:    ④             

綜合①④可知,當時,對任意給定的上總存在兩個不同的,使成立.………………………………14分

 

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(2011•廣東模擬)(本小題滿分14分 已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+2sin(
π
4
+x)cos(
π
4
+x)

(I)化簡f(x)的表達式,并求f(x)的最小正周期;
(II)當x∈[0,
π
2
]  時,求函數(shù)f(x)
的值域.

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已知=2,點()在函數(shù)的圖像上,其中=.
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 (本小題滿分14分)

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⑵ 若上恒成立,求的取值范圍;

⑶ 證明:

 

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