Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，，D為AA₁中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)0，C0丄側(cè)面ABB₁A₁

(I )證明：BC丄AB₁；

(II)若OC=OA,求二面角C₁-BD-C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

見解析    （Ⅱ）二面角的余弦值為

【解析】試題的熱點(diǎn)是線線、線面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)，其中線面關(guān)系是重點(diǎn)，而垂直關(guān)系又重于平行關(guān)系，對三垂線定理的考查更突出；空間角和距離的計算出也年年必考，三種角、四種距離中線面角，二面角，點(diǎn)面距離是重點(diǎn)，求角又重于求距離

（Ⅰ）因為是矩形，

為中點(diǎn)，，，,

所以在直角三角形中,,

在直角三角形中,,

所以=,又，，

所以在直角三角形中，故，即， ……………3分

又因為，,所以

所以，,,     故…………………………5分

（Ⅱ）解法一：如圖，由（Ⅰ）可知，兩兩垂直，分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

在中，可求得,,，在中，可求得 ，   故,,,

所以 ,,

可得，…………………………………8分

設(shè)平面的法向量為 ，則 ，

即，取，則 ， …10分

又，故，

所以，二面角的余弦值為………12分

解法二：連接交于,連接，

因為，所以，又，所以，故所以為二面角的平面角…………………8分

，，，,

  ，在中， ，

又  ，故二面角的余弦值為 .