設(shè)曲線y=+bx2+cx在點(diǎn)A(x,y)處的切線斜率為k(x),且k(-1)=0.對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式x≤k(x)≤(x2+1)恒成立(a≠0).
(1)求k(1)的值;
(2)求函數(shù)k(x)的表達(dá)式;
(3)求證:>
解:(1)由不等式恒成立可得, 所以(1)=1 (2),由(1)=1,k(-1)=0 可得,解得 又因?yàn)椴坏仁?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image237.gif" width=129 height=41>恒成立,則由恒成立得: 且 又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image246.gif" width=64 HEIGHT=41>,即有, 即,即, 所以, 同理由恒成立,解得 所以 (3)證法一: 要證>,即證> 即證> 因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3707/0019/214a4b285363940fad13e45cc9301cf0/C/Image260.gif" width=254 height=45>, 所以 顯然成立,所以>成立 證法二:(數(shù)學(xué)歸納法)
1.當(dāng)時(shí),左邊=1,右邊=,不等式成立; 2.假設(shè)時(shí),不等式成立, 即>成立, 則時(shí),左邊= 由得
即時(shí),不等式也成立, 綜上可得> |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:101網(wǎng)校同步練習(xí) 高三數(shù)學(xué) 蘇教版(新課標(biāo)·2004年初審) 蘇教版 題型:038
設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖象與y軸交點(diǎn)為P點(diǎn),且曲線在P點(diǎn)處的切線方程為12x-y-4=0.若函數(shù)在x=2處取得極值0,試確定函數(shù)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:北京市海淀區(qū)2008-2009學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)文科 題型:044
設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+5,且曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線與x軸平行.
(1)求實(shí)數(shù)c的值;
(2)判斷是否存在實(shí)數(shù)b,使得方程f(x)-b2x=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根.若存在,求b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年河北省高三8月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若過點(diǎn)A(2,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。第一問,利用函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在x=±1處取得極值,且在x=0處的切線的斜率為-3,得到c=-3 ∴a=1, f(x)=x3-3x
(2)中設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),因?yàn)檫^點(diǎn)A(2,m),所以∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)分離參數(shù)∴m=-2x03+6x02-6
然后利用g(x)=-2x3+6x2-6函數(shù)求導(dǎo)數(shù),判定單調(diào)性,從而得到要是有三解,則需要滿足-6<m<2
解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c
依題意
又f′(0)=-3
∴c=-3 ∴a=1 ∴f(x)=x3-3x
(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0,x03-3x0),
∵f′(x)=3x2-3,∴f′(x0)=3x02-3
∴切線方程為y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0)
又切線過點(diǎn)A(2,m)
∴m-(x03-3x0)=(3x02-3)(2-x0)
∴m=-2x03+6x02-6
令g(x)=-2x3+6x2-6
則g′(x)=-6x2+12x=-6x(x-2)
由g′(x)=0得x=0或x=2
∴g(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減,(0,2)單調(diào)遞增,(2,+∞)單調(diào)遞減.
∴g(x)極小值=g(0)=-6,g(x)極大值=g(2)=2
畫出草圖知,當(dāng)-6<m<2時(shí),m=-2x3+6x2-6有三解,
所以m的取值范圍是(-6,2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題
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