Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為0.5萬元，但每生產(chǎn)100件需再增加成本0.25萬元，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500件，年銷售收入（單位：萬元）為R（t）=5t-（0≤t≤5），其中t為產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）．
（1）把年利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量x（百件）（x≥0）的函數(shù)f（x）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時(shí)，公司可獲得最大年利潤(rùn)？

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論：①當(dāng)0≤x≤5時(shí)，②當(dāng)x＞5時(shí)，分別寫出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，最后利用分段函數(shù)的形式寫出所求函數(shù)解析式即可；
（2）分別求出當(dāng)0≤x≤5時(shí)，及當(dāng)x＞5時(shí)，f（x）的最大值，最后綜上所述，當(dāng)x為多少時(shí)，f（x）有最大值，即當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時(shí)，公司可獲得最大年利潤(rùn)．
解答：解：（1）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f（x）=R（x）-0.5-0.25x
=-x²+4.75x-0.5；當(dāng)x＞5時(shí)，
f（x）=R（5）-0.5-0.25x=12-0.25x，
故所求函數(shù)解析式為．
（2）0≤x≤5時(shí)，f（x）=-（x-4.75）²+10.78125，
∴在x=4.75時(shí)，
f（x）有最大值10.78125，當(dāng)x＞5時(shí)，
f（x）=12-0.25x＜12-0.25×5
=10.75＜10.78125，
綜上所述，當(dāng)x=4.75時(shí)，f（x）有最大值，即當(dāng)年產(chǎn)量為475件時(shí)，公司可獲得最大年利潤(rùn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，以及函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應(yīng)先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個(gè)函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個(gè)函數(shù)的最小值．