已知f(x)=2x3-ax2,g1(x)=f(x),當n≥2且n∈N*時,gn(x)=f[gn-1(x)].

(1)若f(1)=1且對任意n∈N*,都有gn(x0)=x0,求所有x0組成的集合;

(2)若f(1)>3,是否存在區(qū)間A,對n∈N*,當且僅當x∈A時,就有gn(x)<0?如果存在,求出這樣的區(qū)間A;如果不存在,說明理由.

解析:(1)由f(1)=11=2-aa=1.

∴f(x)=2x3-x2.當n=1時,g1(x0)

=f(x0)=2x03-x02=x0x0(2x02-x0-1)=0,

∴x0=0或x0=1或x0=.由題設,g2(x0)=f[g1(x0)]=f(x0)=x0,假設gk(x0)=x0,當n=k+1時,gk+1(x0)=f[gk(x0)]=f(x0)=x0,

∴gn(x0)=x0對n=k+1時也成立.

∴當x0滿足g1(x0)=x0時,就有gn(x0)=x0.

∴所有x0組成的集合為{0,1,}.

(2)若f(1)=2-a>3a<-1.令g1(x)=f(x)=2x3-ax2<0,得x2(2x-a)<0x<,對于n≥2,gn(x)<0f[gn-1(x)]<0gn-1(x)<.

∴若對n∈N*有gn(x)<0,必須且只需g1(x)<0.∴A=(-∞,).

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