Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：BE⊥平面PAC；
（Ⅲ）若AB=2BC，求二面角A-BC-E的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AC∩BD=O，連接OE．證明OE∥PA，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面BDE．
（Ⅱ）通過證明BC⊥平面PAB，然后證明PA⊥BE．BE⊥PC留言在線與平面垂直的判定定理證明∴BE⊥平面PAC．（Ⅲ）說明∠ABP即為二面角A-BC-E的平面角，通過求解三角形即可得到二面角的大小．

解答 （本題13分）（文科）
（Ⅰ）證明：設AC∩BD=O，連接OE．…（1 分）
∵底面ABCD為矩形，
∴O為AC的中點．
∵E為PC的中點，
∴OE∥PA．…（3 分）
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（4 分）
（Ⅱ）證明：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
平面PAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PAB．…（5 分）
∵PA?平面PAB，
∴BC⊥PA．…（6 分）
∵PA⊥PB，BC∩PB=B，
∴PA⊥平面PBC．…（7 分）
∵BE?平面PBC，
∴PA⊥BE．…（8 分）
∵BP=BC，E為PC的中點，
∴BE⊥PC．…（9 分）
∵PA∩PC=P，
∴BE⊥平面PAC．…（10分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知BC⊥平面PAB，
故∠ABP即為二面角A-BC-E的平面角．…（11分）
∵在Rt△APB中，∠APB=90°，AB=2BC=2BP，
∴∠BAP=30°，∠ABP=60°．
∴二面角A-BC-E為60°．…（13分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面平行與垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力邏輯推理能力，以及計算能力．