Question

已知曲線C₁的極坐標方程為ρ²=

2

3+cos2θ

，以極點O為原點，以極軸為x軸正向建立直角坐標系，將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來的

1

2

倍后得曲線C₂．
（1）試寫出曲線C₁的直角坐標方程．
（2）在曲線C₂上任取一點R，求點R到直線l：x+y-5=0的距離的最大值．

Answer 1

考點：點的極坐標和直角坐標的互化,點到直線的距離公式

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ²=

2

3+cos2θ

，即 （ρcosθ）²+ρ²=1，再把它化為直角坐標方程．
（2）由題意可得曲線C₂的方程為

x2

2

+4y²=1，求得曲線C₂的參數(shù)方程，設點R（

2

cosθ，

1

2

sinθ），求得點R到直線l：x+y-5=0的距離為d=

| 2 cosθ+ 1 2 sinθ-5|

2

=

| 3 2 sin(α+θ)-5|

2

，再利用正弦函數(shù)的值域求得d的最大值．

解答： 解：（1）曲線C₁的極坐標方程為ρ²=

2

3+cos2θ

=

2

2cos2θ+2

=

1

cos2θ+1

，
即 （ρcosθ）²+ρ²=1，化為直角坐標方程為 2x²+y²=1．
（2）將曲線C₁上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來的

1

2

倍后得曲線C₂．
在曲線C₂上任取一點（x，y），它在曲線C₁上的對應點（ m，n），
則由題意可得 x=2m，y=

n

2

，2m²+n²=1．
∴2×(

x

2

)2+（2y）²=1，即

x2

2

+4y²=1，故曲線C₂的參數(shù)方程為

x= 2 •cosθ y= 1 2 •sinθ

 （θ為參數(shù)），
故可設點R（

2

cosθ，

1

2

sinθ），點R到直線l：x+y-5=0的距離d=

| 2 cosθ+ 1 2 sinθ-5|

2

 
=

| 3 2 sin(α+θ)-5|

2

≤

|- 3 2 -5|

2

=

13 2

4

，
故點R到直線l：x+y-5=0的距離的最大值為

13 2

4

．

點評：本題考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，正弦函數(shù)的值域，求出點P的坐標，是解題的難點，屬于基礎題．