Question

已知橢圓內(nèi)有一點(diǎn)P（2，1），過(guò)點(diǎn)P作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）若弦AB恰好被點(diǎn)P平分，求直線AB的方程；
（2）當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“點(diǎn)差法”求得直線的斜率即可得到直線的方程；
（2）當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)，滿足OP⊥AB，求出此時(shí)直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式即可．
解答：解：（1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的斜率為k，
由A、B在橢圓上，得
又∵P（2，1）是AB的中點(diǎn)，∴．
由①-②得 ，
∴k==-．
∴直線AB的方程為y-1=-（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí) 滿足：OP⊥AB．
∵k_OP=，∴k_AB=-2，
∴直線AB的方程為 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
聯(lián)立方程組 得 40x²-180x+189=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則 ，
∴|AB|==．
∴S_△AOB=|OP||AB|=．
點(diǎn)評(píng)：會(huì)應(yīng)用“點(diǎn)差法”解決有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題；知道：當(dāng)原點(diǎn)O到直線AB的距離取最大值時(shí)滿足OP⊥AB，及熟練掌握點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．