已知橢圓內(nèi)有一點P(2,1),過點P作直線交橢圓于A、B兩點.
(1)若弦AB恰好被點P平分,求直線AB的方程;
(2)當(dāng)原點O到直線AB的距離取最大值時,求△AOB的面積.
【答案】分析:(1)利用“點差法”求得直線的斜率即可得到直線的方程;
(2)當(dāng)原點O到直線AB的距離取最大值時,滿足OP⊥AB,求出此時直線AB的方程,再利用點到直線的距離公式及弦長公式即可.
解答:解:(1).設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,
由A、B在橢圓上,得
又∵P(2,1)是AB的中點,∴
由①-②得 ,
∴k==-
∴直線AB的方程為y-1=-(x-2),即  8x+9y-25=0;
(2).當(dāng)原點O到直線AB的距離取最大值時 滿足:OP⊥AB.
∵kOP=,∴kAB=-2,
∴直線AB的方程為 y-1=-2(x-2),即  2x+y-5=0.
聯(lián)立方程組 得 40x2-180x+189=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 ,
∴|AB|==
∴S△AOB=|OP||AB|=
點評:會應(yīng)用“點差法”解決有關(guān)中點弦的問題;知道:當(dāng)原點O到直線AB的距離取最大值時滿足OP⊥AB,及熟練掌握點到直線的距離公式、弦長公式是解題的關(guān)鍵.
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已知橢圓內(nèi)有一點P,以P為中點作弦MN,則直線MN的方程是(    )

A.                  B.

C.                  D.

 

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