Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B，交x軸的正半軸交于點(diǎn)D，且有|FA|=|FD|，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí)，△ADF為正三角形
（1）求C的方程
（2）延長AF交拋物線于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作拋物線的切線l₁，求證：l₁∥l．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知A點(diǎn)橫坐標(biāo)為FD的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，列出方程解出p．
（2）根據(jù)|FA|=|FD|列出方程得出A，D橫坐標(biāo)的關(guān)系，從而得出l的斜率，設(shè)l₁方程，與拋物線方程聯(lián)立，由判別式△=0得出l的截距與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0），設(shè)D（t，0），則FD的中點(diǎn)為（$\frac{p+2t}{4}$，0）．
∵|FA|=|FD|，∴3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍）．
∵$\frac{p+2t}{4}$=3，∴$\frac{3p+6}{4}=3$，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），設(shè)A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m）（m≠0），D（x_D，0），
∵|FA|=|FD|，則|x_D-1|=$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，由x_D＞0得x_D=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，即D（$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，0）．
∴直線l的斜率為k_AD=-$\frac{m}{2}$．
設(shè)l₁：y=kx+n（k≠0）與拋物線相切，代入可得ky²-4y+4n=0，△=0，所以E（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，∴m（$\frac{1}{{k}^{2}}$-1）=$\frac{2}{k}（\frac{{m}^{2}}{4}-1）$，
解得k=$\frac{2}{m}$或k=-$\frac{m}{2}$．
k=$\frac{2}{m}$，E與A重合，舍去，
∴k=-$\frac{m}{2}$，
∴l(xiāng)₁∥l．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．