Question

已知函數(shù)f(x)=

1

1-x2

，
（1）討論函數(shù)f（x）的性質(zhì)（定義域，奇偶性，單調(diào)性（不要求證明））；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）的性質(zhì)畫出y=f（x）的圖象（草圖）；
（3）判斷f（-2-a²）與f（a²+1）（其中a∈R，且a≠0）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)的解析式有意義的原則，可以得到函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可以判斷函數(shù)的奇偶性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，可以判斷出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的性質(zhì)，我們易畫出y=f（x）的圖象（草圖）；
（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性，我們可得f（-2-a²）=f（a²+2），再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分析兩個(gè)自變量的大小，即可得到答案．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）
函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1），[0，1）上為增函數(shù)，
在區(qū)間（-1，0]，（1，+∞）上為減函數(shù)
（2）由（1）中函數(shù)的性質(zhì)，可得y=f（x）的圖象如圖所示：
（3）∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
∴f（-2-a²）=f（a²+2）
又∵f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，且a²+2＞a²+1≥1
∴f（a²+2）＞f（a²+1）
即f（-2-a²）＞f（a²+1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是奇偶性與單調(diào)性的綜合，同時(shí)也考查了函數(shù)的定義域，圖象等，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合考查，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的處理方法，是解答本題的關(guān)鍵．