Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），且橢圓C的離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，Q是橢圓C上異于A₁，A₂的任一點(diǎn)，直線QA₁，QA₂分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題目給出的條件直接列關(guān)于a，b，c的方程組求解a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由橢圓方程求出橢圓上下頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓上的動(dòng)點(diǎn)Q，由直線方程的兩點(diǎn)式寫(xiě)出直線QA₁，QA₂的方程，取y=0后得到OS和OT的長(zhǎng)度，結(jié)合點(diǎn)Q在橢圓上整體化簡(jiǎn)運(yùn)算可證出|OS|•|OT|為定值；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大，由點(diǎn)M在橢圓上得到關(guān)于m和n的關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)O到直線的距離，由圓中的半徑，半弦長(zhǎng)和弦心距之間的關(guān)系求出弦長(zhǎng)，寫(xiě)出△OAB的面積后利用基本不等式求面積的最大值，利用不等式中等號(hào)成立的條件得到關(guān)于m和n的另一關(guān)系式，聯(lián)立后可求解M的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意：，解得：
所以橢圓C：；
（2）由（1）可知，設(shè)Q（x，y），
直線QA₁：，令y=0，得；     
直線QA₂：，令y=0，得；
則，
而，所以，
所以；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)M（m，n）滿(mǎn)足題意，則，即．
設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，且．
所以．
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124340997985503/SYS201310251243409979855020_DA/19.png">，所以，所以．
所以．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S_△OAB取得最大值．
由，解得．
所以或或或．
所以存在點(diǎn)M滿(mǎn)足題意，點(diǎn)M的坐標(biāo)為
或．
此時(shí)△OAB的面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．屬難題．