Question

【題目】已知函數(shù)在點處的切線與直線垂直.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，函數(shù)無極小值；（2）

【解析】分析：（1）由函數(shù)在點處的切線與直線垂直，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值；（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)時，在上是增函數(shù)，，故當(dāng)時，，再證明當(dāng)時不合題意即可.

詳解：（1）函數(shù)的定義域為，，

所以函數(shù)在點處的切線的斜率.

∵該切線與直線垂直，所以，解得.

∴， ，

令，解得.

顯然當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.

∴函數(shù)的極大值為，函數(shù)無極小值.

（2）在上恒成立，等價于在上恒成立，

令，則，

令，則在上為增函數(shù)，即，

①當(dāng)時，，即，則在上是增函數(shù)，

∴，故當(dāng)時，在上恒成立.

②當(dāng)時，令，得，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，，

因此當(dāng)時，在上不恒成立，

綜上，實數(shù)的取值范圍是.