Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x-3
（1）當a=4，2≤x≤5時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）≤2x-2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3；
①當2≤x＜4時，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x²+6x-3，
當x=2時，f（x）_min=5；當x=3時，f（x）_max=6 （2分）
②當4≤x≤5時，f（x）=x（x-4）+2x-3=x²-2x-3=（x-1）²-4，
當x=4時，f（x）_min=5；當x=5時，f（x）_max=12 （4分）
綜上可知，函數(shù)f（x）的最大值為12，最小值為5． （6分）
（2）若x≥a，原不等式化為f（x）=x²-ax≤1，即a≥x-在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥（x-）_max，即a≥． （8分）
若x＜a，原不等式化為f（x）=-x²+ax≤1，即a≤x+在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≤（x-）_min，即a≤2． （10分）
綜上可知，a的取值范圍為≤a≤2． （12分）
∴f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3．即實數(shù)m的取值范圍是（e，3）（12分）
分析：（1）當a=4時，f（x）=x|x-4|+2x-3；再對x的取值進行分類討論去掉絕對值符號：①當2≤x＜4時，②當4≤x≤5時，分別求出在各自區(qū)間上的最值，最后綜合得到函數(shù)f（x）的最值．
（2）題目中條件：“x∈[1，2]時，f（x）≤2x-2恒成立”轉(zhuǎn)化為f（x）=x²-ax≤1恒成立，下面只要利用分離參數(shù)法求出函數(shù)x-或x+在給定區(qū)間上的最值即得．
點評：本題考查不等式的恒成立問題，屬于中檔題，求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，是經(jīng)久不衰的話題，也是高考的熱點，它可以綜合地考查中學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法，體現(xiàn)知識的交匯．