Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當(dāng)， 在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，時(shí)， 在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）．

【解析】分析：（1）求出函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)即可得切線(xiàn)方程；

（2），就分類(lèi)討論即可；

（3）不妨設(shè)，則原不等式可以化為，故利用為增函數(shù)可得的取值范圍．

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，

所以所求的切線(xiàn)方程為，即．

（2），

①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增．

②當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)，即時(shí)，

因?yàn)?/span>或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足條件，

不妨設(shè)，由知，

令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以，即在上恒成立，

所以，故存在這樣的實(shí)，滿(mǎn)足題意，其取值范圍為．