Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}中，S₃=21，S₆=24，求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 設(shè)公差為d，由S₃=21，S₆=24，利用等差數(shù)列的前n項和公式可得d，a₁．分別解出a_n≥0，a_n＜0．再利用絕對值的意義、等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：設(shè)公差為d，∵S₃=21，S₆=24，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=21}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=24}\end{array}\right.$，
解方程組得：d=-2，a₁=9．
∴a_n=9+（n-1）（-2）=-2n+11．
由a_n≥0，解得$n≤\frac{11}{2}$，即n≤5．
∴當(dāng)n≤5時，a_n＞0；當(dāng)n≥6時，a_n＜0．
由數(shù)列{a_n}的前n項和為：S_n=9n+$\frac{n（n-1）}{2}×（-2）$=-n²+10n．
∴當(dāng)n≤5時，T_n=S_n=-n²+10n．
當(dāng)n≥6時，T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=n²-10n+50．
即S_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+10n，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$（n∈N^*）．

點評 本題考查了絕對值數(shù)列求和問題、等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．