Question

設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)證明f(x)是周期函數(shù)；

Answer 1

（1）f()=a,f()=a

解析:

(1)因?yàn)閷?duì)x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),

所以f(x)=≥0,x∈［0,1］

又因?yàn)?i>f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］²

 

f()=f(+)=f()·f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,f()=a

(2)證明：依題意設(shè)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函數(shù)知f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

將上式中－x以x代換得f(x)=f(x+2)，這表明f(x)是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)

周期.