Question

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，且f=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明f（x）在定義域上是減函數(shù)；
（Ⅱ）如果，求滿足不等式的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要掌握定義法證明單調(diào)性的前提是x₁＜x_2，判斷f（x₂）＜f（x₁）即可，準(zhǔn)確構(gòu)造條件當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）要利用第一問的結(jié)論，加上條件f（x•y）=f（x）+f（y），利用單調(diào)性即可解出答案．
解答：解：（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
，∴（2分）
又f（x•y）=f（x）+f（y），
∴，∴，（4分）
∴f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)．（6分）
（Ⅱ）由已知f（x•y）=f（x）+f（y），
可得∴．（8分），
∴，（10分）
∵f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
∴（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題要掌握定義法證明單調(diào)性的前提是x₁＜x_{2，判斷}f（x₂），f（x₁）的大小；另外如果第一問無法準(zhǔn)確得出，可以直接將結(jié)論應(yīng)用于第二問．