Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，依次為O、F、A、H，當(dāng)|HF|≥

3

2

|AF|時(shí)，

|HF|

|OA|

的最大值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，可得|HF|=

b2

c

，|AF|=c-a，依題意，|HF|≥

3

2

|AF|，可得

b2

c

≥

3

2

（c-a），化簡可得

|HF|

|OA|

=

b2

ac

=e-

1

e

，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x-

1

x

，分析其單調(diào)性，可得f（x）的最大值，即可得答案．

解答：解：|HF|=

b2

c

，|AF|=c-a，
則

b2

c

≥

3

2

（c-a）?

c+a

c

≥

3

2

?c≤2a?e≤2

|HF|

|OA|

=

b2

ac

=e-

1

e

，
記f（x）=x-

1

x

，函數(shù)f（e）在（1，2]上遞增，
∴f（x）≤f（2）=

3

2

；
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題涉及雙曲線的幾何性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性，是一道綜合性的題目，有一定的難度，平時(shí)注意多多訓(xùn)練．