Question

（本小題滿分12分）

已知方向向量為v=(1,)的直線l過(guò)點(diǎn)（0，－2）和橢圓C：

 

的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存

 

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）解法一：直線，  ①

過(guò)原點(diǎn)垂直的直線方程為，  ②

解①②得

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

 

∵直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.

  故橢圓C的方程為  ③

 

解法二：直線.

設(shè)原點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.

 

∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，

    ∵直線過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.

 

  故橢圓C的方程為  ③

（II）解法一：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得

 

 

點(diǎn)O到直線MN的距離

 

即

      

 

      

即

 

整理得

當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.

故直線m的方程為

或或

經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.

所以所求直線方程為或或

解法二：設(shè)M（），N（）.

當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得

 

∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，

∴|MN|=|ME|+|NE|

=

 

以下與解法一相同.

解法三：設(shè)M（），N（）.

設(shè)直線，代入③，整理得

 

 

 

即

 

 

 

∴=，整理得      

 

解得或

 

故直線m的方程為或或

 

經(jīng)檢驗(yàn)上述直線方程為

 

所以所求直線方程為或或

 

【解析】略