Question

（本小題滿分14分）
一個(gè)幾何體是由圓柱和三棱錐組合而成，點(diǎn)、、在圓的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖3所示，其中，，，．
（1）求證：；
（2）求二面角的平面角的大�。�

Answer 1

（本小題主要考查空間線線、線面關(guān)系，二面角，三視圖等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力．）
方法1：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175252569536.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175252959317.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175253021450.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以．………………………………………………………………4分
（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．
設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，
…………………………………………6分
解得
所以，．………………………………………………………………………7分
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
由（1）知，，，所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175254519266.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．
所以為二面角的平面角．…………………………………………………………9分
由（1）知，平面，平面，
所以，即△為直角三角形．
在△中，，，則．
由，解得．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175255720749.gif" style="vertical-align:middle;" />．…………………………………………………………………………13分
所以．
所以二面角的平面角大小為．………………………………………………………14分
方法2：（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．
設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，
…………………………………………2分
解得
所以，．………………………………………………………………………3分
以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．
………………………5分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175256344866.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
所以．…………………………………………………9分
（2）解：設(shè)是平面的法向量，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175256438562.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以即 
取，則是平面的一個(gè)法向量．……………………………………………11分
由（1）知，，又，，所以平面．
所以是平面的一個(gè)法向量．……………………………………………………12分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231752567961215.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
而等于二面角的平面角，
所以二面角的平面角大小為．………………………………………………………14分
方法3：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175252569536.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175252959317.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以平面．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823175253021450.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以．…………………………………………………………………………………………4分
（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)、、在圓的圓周上，且，所以為圓的直徑．
設(shè)圓的半徑為，圓柱高為，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，
…………………………………………6分
解得
所以，．………………………………………………………………………7分
以點(diǎn)為原點(diǎn)，、所在的射線分別為軸、軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．
…………………………9分
設(shè)是平面的法向量，
則即 
取，則是平面的一個(gè)法向量．………11分
由（1）知，，又，，
所以平面．
所以是平面的一個(gè)法向量．……………………………………………………12分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231752580601216.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以．
而等于二面角的平面角，
所以二面角的平面角大小為．………………………………………………………14分

略