Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x-t|+$\frac{t}{x}$（x＞0）；
（1）判斷函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，t]上的單調(diào)性，并證明；
（2）若函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，可得結(jié)論；
（2）分類討論，要使函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，則t≥$\sqrt{t}$，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）0＜x≤t，f（x）=t-x+$\frac{t}{x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{t}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，t]上單調(diào)遞減；
（2）t≤0，f（x）=x+t+$\frac{t}{x}$，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值，
t＞0時，x＞t，f（x）=x+$\frac{t}{x}$-t，要使函數(shù)y=f（x）的最小值為與t無關(guān)的常數(shù)，則t≥$\sqrt{t}$，
∴0＜t≤1，最小值為1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．