Question

提高南洋大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù)．

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的表達式；  （Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時） 可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=

（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時

【解析】本題主要考查函數(shù)、最值等基礎知識，同時考查運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中等題．

（I）根據(jù)題意，函數(shù)v（x）表達式為分段函數(shù)的形式，關鍵在于求函數(shù)v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據(jù)一次函數(shù)表達式的形式，用待定系數(shù)法可求得；

（II）先在區(qū)間（0，20]上，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，得最大值為f（20）=1200，然后在區(qū)間[20，200]上用基本不等式求出函數(shù)f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區(qū)間內較大的最大值即為函數(shù)在區(qū)間（0，200]上的最大值

解：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得

故函數(shù)的表達式為=

（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得

當時，為增函數(shù)，故當時，其最大值為；

當時，，

當且僅當，即時，等號成立．

所以，當時，在區(qū)間上取得最大值．

綜上，當時，在區(qū)間上取得最大值，

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．