Question

（中線(xiàn)性運(yùn)算）在平面直角坐標(biāo)系中，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上的充要條件為存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得

OC

=λ•

OA

+(1-λ)•

OB

成立，此時(shí)稱(chēng)實(shí)數(shù)λ為“向量

OC

關(guān)于

OA

和

OB

的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù)”．若已知P₁（3，1）、P₂（-1，3），且向量

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，則“向量

OP3

關(guān)于

OP1

和

OP2

的終點(diǎn)共線(xiàn)分解系數(shù)”為（　　）

• A、-3
• B、3
• C、1
• D、-1

Answer 1

分析：由向量

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，則由兩向量垂直數(shù)量積為零，我們可設(shè)出向量

OP3

的坐標(biāo)，然后根據(jù)

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

，易P₁（3，1）、P₂（-1，3）的坐標(biāo)，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于λ的方程組，解方程組即可求出λ的值．

解答：解：由

OP3

與向量

a

=（1，1）垂直，
可設(shè)

OP3

=(t，-t)(t≠0)，
由

OP3

=λ•

OP1

+(1-λ)•

OP2

得（t，-t）=λ（3，1）+（1-λ）（-1，3）
=（4λ-1，3-2λ），
∴

4λ-1=t 3-2λ=-t

，
兩式相加得2λ+2=0，
∴λ=-1．
故選D

點(diǎn)評(píng)：若A、B、P三點(diǎn)共線(xiàn)，O為直線(xiàn)外一點(diǎn)，則

OP

=λ

OA

→+μ

OB

→，且λ+μ=1，反之也成立，這是三點(diǎn)共線(xiàn)在向量中最常用的證明方法和性質(zhì)，大家一定要熟練掌握．