Question

已知函數(shù)f(x)=

1+lnx

x

在區(qū)間（k+1，+∞）上存在極值．
（Ⅰ）求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）對(duì)于任意x∈[

1

e

，e]及滿足條件中的k值，不等式f(x)≥

k

x+1

是否能恒成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=-

lnx

x2

可得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而可得函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．從而可得k+1＜1，可求
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥ k 記g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間g（x）在[

1

e

，e]上的最小值，只需g（x）_min≥k可求

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="z7xtfv7" class="MathJye">f(x)=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，…（2分）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x＞0）；當(dāng)x＞1時(shí)，f^′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…（4分）
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．則k+1＜1，得k＜0…（7分）
（Ⅱ）不等式f(x)≥

k

x+1

即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥ k 記g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，
則g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]x-(x+1)(1+lnx)

x2

=

x-lnx

x2

   …（9分）
令h（x）=x-lnx，則h′(x)=1-

1

x

，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)h′（x）≥0，∴h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[

1

e

，1]時(shí)h′（x）＜0，∴h（x）在[

1

e

，1]上單調(diào)遞減，[h（x）]_min=h（1）=1＞0則g^′（x）＞0，
故g（x）在[

1

e

，e]上單調(diào)遞增，…（12分）
則[g(x)]min=g(

1

e

)=0，所以k≤0．…（14分）
由（Ⅰ）知k＜0，故對(duì)于任意x∈[

1

e

，e]及滿足條件中的k值，不等式f(x)≥

k

x+1

恒成立．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極值、最值，解題的關(guān)鍵是采用構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，屬于函數(shù)知識(shí)的綜合性考查．