12..已知數(shù)列{an},{bn}滿足:an+bn=1,bn+1=$\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,且a1,b1是函數(shù)f(x)=16x2-16x+3的零點(diǎn)(a1<b1).
(1)求a1,b1,b2;
(2)設(shè)cn=$\frac{1}{{{b_n}-1}}$,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,并求bn的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式4aSn<bn恒成立時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)由16x2-16x+3=0解得:${x_1}=\frac{1}{4},{x_2}=\frac{3}{4}$,可得a1,b1.由${a_n}+{b_n}=1,{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}(2-{b_n})}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$,可得b2
(2)由${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$,可得$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$.即cn+1=cn-1,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得cn,bn
(3)利用“裂項(xiàng)求和”方法可得Sn,對(duì)a分類(lèi)討論,通過(guò)轉(zhuǎn)化利用單調(diào)性即可得出.

解答 解:(1)由16x2-16x+3=0解得:${x_1}=\frac{1}{4},{x_2}=\frac{3}{4}$,
∴${a_1}=\frac{1}{4},{b_1}=\frac{3}{4}$.
由${a_n}+{b_n}=1,{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}(2-{b_n})}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$,
將${b_1}=\frac{3}{4}$代入得${b_2}=\frac{4}{5}$.
(2)∵${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$,∴$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$.
即cn+1=cn-1,
又${c_1}=\frac{1}{{{b_1}-1}}=\frac{1}{{\frac{3}{4}-1}}=-4$.
故:數(shù)列{cn}是以-4為首項(xiàng),-1為公差的等差數(shù)列. 
于是cn=-4+(n-1)×(-1)=-n-3,
由${c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}$得${b_n}=\frac{1}{c_n}+1=1-\frac{1}{n+3}=\frac{n+2}{n+3}$.
(3)不由題意及(2)知:${a_n}=1-{b_n}=\frac{1}{n+3}$.
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+3)(n+4)}$=$\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}$.
∴Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$+…+$(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4})$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$
=$\frac{n}{4(n+4)}$.
由$4a{S_n}-{b_n}=\frac{an}{n+4}-\frac{n+2}{n+3}=\frac{{(a-1){n^2}+(3a-6)n-8}}{(n+3)(n+4)}<0$恒成立,
即(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可,)
設(shè)f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8
①當(dāng)a=1時(shí),f(n)=-3n-8<0恒成立
②當(dāng)a>1時(shí),由二次函數(shù)的性質(zhì)f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8<0不可能恒成立.
③當(dāng)a<1時(shí),由于$-\frac{3a-6}{2(a-1)}=-\frac{3}{2}(1-\frac{1}{a-1})<0$,
∴f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
由f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=4a-15<0得$a<\frac{15}{4}$,
∴a<1,4aSn<bn恒成立.
綜上所述:所求a的取值范圍是(-∞,1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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①求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
②若關(guān)于x的不等式f(x)<(x-1)•ex對(duì)任意的x∈(1,+∞)都成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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