Question

已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3（a∈R）。
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y= f(x)的圖像在點（2，f(2)）處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值？
（Ⅲ）當a=2時，設函數(shù)h(x)=(p-2)x--3，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個x₀，使得h(x₀)＞f(x₀)成立，試求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（Ι）由知：
當a＞0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
當a＜0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
當a=0時，函數(shù)f(x)=-3是常數(shù)函數(shù)，無單調(diào)區(qū)間。
（Ⅱ）由，
∴，，
故，
∴，
∵函數(shù)g(x)在區(qū)間（t，3）上總存在極值，
∴ 函數(shù)g′(x)在區(qū)間（t，3）上總存在零點，
又∵函數(shù)g′(x)是開口向上的二次函數(shù)，且g′(0)=-2＜0，
∴，
由，令，則，
所以，H(t)在[1，2]上單調(diào)遞減，所以，；
由，解得；
綜上得：，
所以當m在內(nèi)取值時，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總存在極值。
（Ⅲ）∵a=2，∴，
令，
則，
①當p≤0時，由x∈[1，e]得，從而F(x) ＜0，
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得； 
②當p＞0時，，

∴在[1，e]上恒成立，
故F(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴
故只要，解得，
綜上所述，p的取值范圍是。