Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，△PF₁F₂的頂點(diǎn)P為雙曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF₁F₂內(nèi)切圓圓心I的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心I的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P是雙曲線右支上一點(diǎn)，
∴按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設(shè)三角形PF₁F₂的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與橫軸的切點(diǎn)．
設(shè)B、C分別為內(nèi)切圓與PF₁、PF₂的切點(diǎn)．考慮到同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A=（c+x）-（c-x）
=2x=2a
所以x=a
點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)時(shí)，也成立．
故答案為：x=a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．