Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若，且成等比數(shù)列，求k和t的值.

Answer 1

【答案】（1）1（2）.（3）.

【解析】

（1）令代入遞推關(guān)系，即可求得的值；

（2）連續(xù)兩次利用“臨差法”，即多遞推一項(xiàng)再相減，從而構(gòu)造出這一遞推關(guān)系，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案；

（3）由（2）可知，由成等比數(shù)列，可得，即，再根據(jù)等式兩邊奇、偶數(shù)的特點(diǎn)，推理得到k和t的值.

（1）由，得，即.

因?yàn)?/span>，所以.

（2）因?yàn)?/span>，①

所以，②

②－①，得.

因?yàn)?/span>，

所以，③

所以，④

④－③，得，即，

所以當(dāng)時(shí)，.

又由，得，

即.

因?yàn)?/span>，所以，所以，所以對，都有成立，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（3）由（2）可知.

因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，

所以，即，

所以，即.

由于，所以，即.

當(dāng)時(shí)，，得.

當(dāng)時(shí)，由，得為奇數(shù)，

所以，即，代入(*)得，即，此時(shí)k無正整數(shù)解.

綜上，.