Question

20．己知直線l₁與l₂均過點M（4，2），且l₁⊥l₂，l₁與₂分別和x，y軸交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，則|OP|的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 5
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 分類討論，求出|OP|，即可求出|OP|的最小值．

解答 解：當直線l₁斜率不存在時，|OP|=$\frac{1}{2}$|OM|=$\sqrt{5}$；
當直線l₁斜率存在時，可設其方程為y-2=k（x-4）．令y=0，得A（4-$\frac{2}{k}$，0）．
因與l₂互相垂直，故l₂方程為y-2=-$\frac{1}{k}$（x-4）．令x=0，得B（0，$\frac{4}{k}$+2）．
∴|AB|=$\sqrt{（4-\frac{2}{k}）^{2}+（\frac{4}{k}+2）^{2}}$=$\sqrt{\frac{20}{{k}^{2}}+20}$＞2$\sqrt{5}$，
∴|OP|＞$\sqrt{5}$，
∴|OP|的最小值是$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率的關系，考查了分類討論的數學思想，同時要求學生掌握圓的一些基本性質，靈活運用兩點間的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題．學生做題時不要忽視斜率不存在時的情況．