Question

已知數(shù)列{a_n}滿足遞推關(guān)系式an=2an-1+2n(n≥2)，其中a4=64．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求數(shù)列{a_n}的前n項和Sn．

Answer 1

分析：（1）由已知，令n=4可求a₃，同理可求a₂，a₁．
（2）由a_n=2a_n-1+2ⁿ可得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，則數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項可求，

an

2n

，進而可求a_n
（3）由題意可得，S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，利用錯位相減可求

解答：解：（1）由an=2an-1+2n及a4=64知a4=2a3+24，
解得：a₃=24，同理得a₂=8，a₁=2．（4分）
（2）∵a_n=2a_n-1+2ⁿ
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∵

a1

21

=1
∴數(shù)列{

an

2n

}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列
∴

an

2n

=1+n-1=n
∴

a

n

=n•2n．（8分）
（3）S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ
    2s_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，Sn=-(2+22+…+2ⁿ）+n•2ⁿ⁺¹=-

2(1-2n)

1-2

+n•2ⁿ⁺¹
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，及利用構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項，錯位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的重要方法．