Question

已知平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A（2，0），B（-2，0）連線的斜率之積等于-

1

4

的點(diǎn)P的軌跡為曲線C₁，橢圓C₂以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為

5

5

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）若曲線C₁與C₂交于M、N、P、Q四點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNPQ面積最大時(shí)，求橢圓C₂的方程及此四邊形的最大面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），利用平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A（2，0），B（-2，0）連線的斜率之積等于-

1

4

，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（Ⅱ）橢圓C₂以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為

5

5

，則可設(shè)方程為

y2

a2

+

x2

4 5 a2

=1（a＞0），與C₁的方程聯(lián)立，即可求得四邊形的面積，利用配方法，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得

y

x-2

×

y

x+2

=-

1

4

，即

x2

4

+y2=1（x≠±2）
∴C₁的方程為

x2

4

+y2=1（x≠±2）；
（Ⅱ）橢圓C₂以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為

5

5

，則可設(shè)方程為

y2

a2

+

x2

4 5 a2

=1（a＞0）
由

x2 4 +y2=1 y2 a2 + x2 4 5 a2 =1

可得

x2=a2-1 y2= 5-a2 4

∴四邊形MNPQ面積為4

(a2-1)• 5-a2 4

=2

-(a2-3)2+4

∴a²=3時(shí)，四邊形MNPQ面積最大為4，此時(shí)橢圓C₂的方程為

y2

3

+

x2

12 5

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．