Question

已知集合M_D是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f（x）的全體，若函數(shù)f（x）定義域?yàn)镈，對(duì)任意的x₁，x₂∈D，有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
（1）當(dāng)D=（0，+∞）時(shí)，f（x）=lnx是否屬于M_D，若屬于M_D，給予證明，否則說明理由；
（2）當(dāng)D=（0，

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），函數(shù)f（x）=x³+ax+b時(shí)，且f（x）∈M_D，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）顯然函數(shù)f（x）=lnx，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則由切線的性質(zhì)可知，連接該函數(shù)定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)的割線，總能在定義域內(nèi)找到一條切線與之平行，則割線的斜率就是切線的斜率，即該切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，則要判斷該函數(shù)是否屬于M_D，由|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|可知

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，所以只需判定其導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）內(nèi)是否小于1恒成立即可；
（2）結(jié)合（1）的分析，只需令其導(dǎo)函數(shù)|f′（x）|＜1在(0，

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)內(nèi)恒成立即可．

解答： 解：（1）∵對(duì)任意的x₁，x₂∈D，有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，即

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

＜1，即連接函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的割線斜率絕對(duì)值小于1恒成立．
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=lnx，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，則由切線的性質(zhì)可知，連接該函數(shù)定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)的割線，總能在定義域內(nèi)找到一條切線與之平行，則割線的斜率就是切線的斜率，即該切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．所以只需|f′（x）|＜1，D=（0，+∞）時(shí)恒成立即可．
易知f′（x）=

1

x

，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞1，即|f′（x）|＞1，所以不恒成立，因此f（x）=lnx在定義域內(nèi)不屬于M_D．
（2）顯然，該函數(shù)在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，結(jié)合（1）的分析，要使f（x）=x³+ax+b，D=（0，

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），屬于M_D，
只需|f′（x）|＜1，即-1＜f′（x）＜1，在區(qū)間（0，

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）上恒成立即可．
因?yàn)閒′（x）=3x²+a，在x∈（0，

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）時(shí)單調(diào)遞增，
所以只需f′（-1）≥-1，且f′（1）≤1
解得-1≤a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)函數(shù)的割線與切線關(guān)系的理解，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問題的處理方法，要注意端點(diǎn)處的取值情況判斷．