Question

20．設f（x）=$\frac{（x+a）lnx}{x+1}$，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得到結論．求a的值；
（2）將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)進行求解即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（\frac{x+a}{x}+lnx）（x+1）-（x+a）lnx}{（x+1）^{2}}$，
∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2（1+a）}{4}=\frac{1}{2}$，∴1+a=1，解得a=0．
（2）f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，
若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，
即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
設g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），
即對于任意的x∈[1，+∞），g（x）≤0，
g′（x）=$\frac{1}{x}$-m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$，
①若m≤0，g′（x）＞0，則g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾．
②若m＞0，方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當△≤0，即m≥$\frac{1}{2}$時，g′（x）≤0．
∴g（x）在（1，+∞）上單減，
∴g（x）≤g（1）=0，不等式成立．
當0＜m＜$\frac{1}{2}$時，方程-mx²+x-m=0，設兩根為x₁，x₂，（x₁＜x₂），
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（0，1），x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（1，+∞），
當x∈（1，x₁），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾．
綜上所述，m≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的綜合應用以及函數(shù)切線的求解，考查學生的運算能力，綜合性較強，有一定的難度．