Question

橢圓

x2

4

+y2=1的弦AB的中點(diǎn)為P(1，

1

2

)，則弦AB所在直線(xiàn)的方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可知弦AB的斜率存在，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入橢圓方程作差后得到弦AB的斜率，然后由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式求得弦AB所在直線(xiàn)的方程．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵弦AB的中點(diǎn)為P(1，

1

2

)，
∴弦AB的斜率存在．
x₁+x₂=2，y₁+y₂=1．
把A，B的坐標(biāo)代入橢圓

x2

4

+y2=1，得：

x12

4

+y12=1  ①

x22

4

+y22=1  ②
①-②得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-(y1-y2)(y1+y2)，
即

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

=-

2

4×1

=-

1

2

．
∴kAB=-

1

2

．
弦AB所在直線(xiàn)的方程是y-

1

2

=-

1

2

(x-1)，
整理得：x+2y-2=0．
故答案為：x+2y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了“點(diǎn)差法”，涉及弦中點(diǎn)問(wèn)題常用此法解決，是中檔題．