Question

某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部，需要加大投入2500元．對(duì)銷售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷售收入函數(shù)為H(x)=500x-

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x2，其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量0≤x≤500．
（1）若為x年產(chǎn)量，y表示利潤(rùn)，求y=f（x）的解析式
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大？其最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)利潤(rùn)等于銷售收入（H(x)=500x-

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x2 ）減去成本（25x+5000），求出y=f（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=475時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得最大值，計(jì)算可得結(jié)果．

解答：解：（1）利潤(rùn)等于銷售收入（H(x)=500x-

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x2 ）減去成本（25x+5000），
故y=f(x)=(500x-

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x2)-25x-5000=-

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x2+475x-5000，（0≤x≤500）；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x=475時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得最大值為

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×4752-5000=107812.5（元），
即：當(dāng)年產(chǎn)量為475部時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值為：

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×4752-5000=107812.5元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題題．