Question

已知兩點(diǎn)A（-1，0），B（-1，

3

）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在第一象限，且∠AOC=120°，設(shè)

OC

=-3

OA

+λ

OB

（λ∈R），則λ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先根據(jù)題意及向量加法的平行四邊形法則，作出向量

OC

，找出表示

OC

的兩基向量，由A（-1，0），B（-1，

3

）得∠AOB=60°，再利用∠AOC=120°可得平行四邊形的特征，從而得到|

OC

|，最后利用向量數(shù)量積的計(jì)算公式獲得λ的值．

解答： 解：如右圖所示，作向量

OD

=-3

OA

=(3，0)，
則

OC

=-3

OA

+λ

OB

=

OD

+λ

OB

，
∵點(diǎn)C在第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，

3

），∴∠OCD=∠AOB=60°，
又∵∠AOC=120°，∴∠COD=60°，
∴△COD為正三角形，∴|

OC

|=|

OD

|=3，
∵

OC

=(3，0)+λ(-1，

3

)=(3-λ，

3

λ)，
∴cos∠AOC=

OA • OC

| OA || OC |

=

(-1，0)•(3-λ， 3 λ)

1×3

，
即cos120°=

λ-3

3

=-

1

2

，得λ=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了向量加法的平行四邊形法則，平面向量基本定理及數(shù)量積的運(yùn)算等，關(guān)鍵是如何作出和向量

OC

及加向量λ

OB

．
2．當(dāng)然本題中求得|

OC

|=3后，還可根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式列出關(guān)于λ的一元二次方程，從而可求得λ的值，應(yīng)注意根的取舍．