Question

已知圓，橢圓．
（Ⅰ）若點(diǎn)在圓上，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（Ⅱ）現(xiàn)有如下真命題：
“過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”；
“過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直”．
據(jù)此,寫出一般結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

（1）
（2）一般結(jié)論為: “過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”

試題分析：解法一：
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則， （1）　  1分

設(shè)線段的垂直平分線與相交于點(diǎn)，則，    2分
橢圓的右焦點(diǎn)，       3分
,， ，
， （2）             4分
由（1），（2），解得 ，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．      5分
（Ⅱ）一般結(jié)論為：

“過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則這兩條切線互相垂直．”  6分
證明如下：
（�。┊�(dāng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的一條切線的斜率
不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為，
點(diǎn)在圓上 ，，
直線恰好為過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的另一條切線
兩切線互相垂直．         7分
（ⅱ）當(dāng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的切線的斜率存在時(shí)，
可設(shè)切線方程為，
由得 ，
整理得，     8分
直線與橢圓相切，
，
整理得，       9分
，          10分
點(diǎn)在圓上，， ，，兩切線互相垂直，
綜上所述，命題成立．         13分
解法二：
（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則， （1）       1分
橢圓的右焦點(diǎn)，        2分
點(diǎn)在線段的垂直平分線上， ，
 ， ， （2）     4分
由（1），（2），解得， 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．     5分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了橢圓的性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。