已知圓
,橢圓
.
(Ⅰ)若點
在圓
上,線段
的垂直平分線經(jīng)過橢圓的右焦點,求點
的橫坐標;
(Ⅱ)現(xiàn)有如下真命題:
“過圓
上任意一點
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”;
“過圓
上任意一點
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直”.
據(jù)此,寫出一般結(jié)論,并加以證明.
(1)
(2)一般結(jié)論為: “過圓
上任意一點
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.”
試題分析:解法一:
(Ⅰ)設(shè)點
,則
, (1) 1分
設(shè)線段
的垂直平分線與
相交于點
,則
, 2分
橢圓
的右焦點
, 3分
,
,
,
, (2) 4分
由(1),(2),解得
,
點
的橫坐標為
. 5分
(Ⅱ)一般結(jié)論為:
“過圓
上任意一點
作橢圓
的兩條切線,則這兩條切線互相垂直.” 6分
證明如下:
(。┊斶^點
與橢圓
相切的一條切線的斜率
不存在時,此時切線方程為
,
點
在圓
上 ,
,
直線
恰好為過點
與橢圓
相切的另一條切線
兩切線互相垂直. 7分
(ⅱ)當過點
與橢圓
相切的切線的斜率存在時,
可設(shè)切線方程為
,
由
得
,
整理得
, 8分
直線與橢圓相切,
,
整理得
, 9分
, 10分
點
在圓
上,
,
,
,
兩切線互相垂直,
綜上所述,命題成立. 13分
解法二:
(Ⅰ)設(shè)點
,則
, (1) 1分
橢圓
的右焦點
, 2分
點
在線段
的垂直平分線上,
,
,
, (2) 4分
由(1),(2),解得
,
點
的橫坐標為
. 5分
點評:主要是考查了橢圓的性質(zhì),以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用,屬于中檔題。
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標系內(nèi),動圓
過定點
,且與定直線
相切.
(1)求動圓圓心
的軌跡
的方程;
(2)中心在
的橢圓
的一個焦點為
,直線過點
.若坐標原點
關(guān)于直線的對稱點
在曲線
上,且直線與橢圓
有公共點,求橢圓
的長軸長取得最小值時的橢圓方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知圓與y軸相切,圓心在直線x-3y=0,且這個圓經(jīng)過點A(6,1),求該圓的方程.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知
,則以
為直徑的圓的方程是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
過點P(
,3)的直線,交圓
于A、B兩點,Q為圓上任意一點,且Q到AB的最大距離為
,則直線l的方程為
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
當
為任意實數(shù)時,直線
恒過定點
,則以
為圓心,半徑為
的圓是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
圓心為
,半徑為5的圓的標準方程為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知圓的方程為
,則該圓的半徑為____________
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
己知圓C: (x – 2 )2 + y 2 =" 9," 直線l:x + y = 0.
(1) 求與圓C相切, 且與直線l平行的直線m的方程;
(2) 若直線n與圓C有公共點,且與直線l垂直,求直線n在y軸上的截距b的取值范圍;
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