Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，若f（0）=2010，且對(duì)任意的x∈R，滿足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，則f（2010）=

2²⁰¹⁰+2009

．

Answer 1

分析：先由題目中的兩個(gè)不等式推導(dǎo)出f（x+6）-f（x）的值，然后再用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解

解答：解：∵f（x+2）-f（x）≤3•2^x
∴f（x+4）-f（x+2）≤3•2^x+2=12•2^x
f（x+6）-f（x+4）≤3•2^x+4=48•2^x
∴以上三式相加：f（x+6）-f（x）≤63•2^x
又∵f（x+6）-f（x）≥63•2^x
∴f（x+6）-f（x）=63•2^x
∴f（6）-f（0）=63•2⁰
f（12）-f（6）=63•2⁶
f（18）-f（12）=63•2^12
…
f（2010）-f（2004）=63•2²⁰⁰⁴
∴上式相加得：f（2010）-f（0）=63•2⁰+63•2⁶+63•2¹²+…+63•2²⁰⁰⁴
=63•（2⁰+2⁶+2¹²+…+2²⁰⁰⁴）
=63•

1-22004•26

1-26

=2²⁰¹⁰-1
∴f（2010）=f（0）+2²⁰¹⁰-1=2010+2²⁰¹⁰-1=2²⁰¹⁰+2009
故答案為：2²⁰¹⁰+2009

點(diǎn)評(píng)：本題及考察了抽象函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，又考察了數(shù)列中的累加法和等比數(shù)列求前n項(xiàng)和公式，注重知識(shí)點(diǎn)的交匯和靈活運(yùn)用．屬難題