Question

13．直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1相交于A，B兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P使得△PAB面積為2，這樣的點(diǎn)P共有（　�。﹤�(gè)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，求得丨AB丨=5，△PAB面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)為3x+4y+m=0，與橢圓相切，代入橢圓方程，由△=0，即可求得m的值，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可知：這樣到直線(xiàn)AB的距離為$\frac{4}{5}$的直線(xiàn)有兩條，這兩條直線(xiàn)與橢圓都相交，分別有兩個(gè)交點(diǎn)，共4個(gè)．

解答 解：由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$，
設(shè)A（4，0），B（0，3），由條件可知：
若點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離為d，
那么△PAB面積S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=2，解得：d=$\frac{4}{5}$，
設(shè)與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)為3x+4y+m=0，與橢圓相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\\{3x+4y+m=0}\end{array}\right.$，整理得：18x²+6mx+m²-16×9=0，
由△=0，即36m²-4×18（m²-16×9）=0，整理得：m²=288，解得：m=±12$\sqrt{2}$，
∴切線(xiàn)方程l₁：3x+4y+12$\sqrt{2}$=0，切線(xiàn)方程l₂：3x+4y-12$\sqrt{2}$=0，
由直線(xiàn)l₁與直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離d₁=$\frac{丨12\sqrt{2}+12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$+1）＞$\frac{4}{5}$，
同理直線(xiàn)l₂與直線(xiàn)$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$=1的距離d₂=$\frac{丨12\sqrt{2}-12丨}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{4}}}$=$\frac{12}{5}$（$\sqrt{2}$-1）＞$\frac{4}{5}$，
∴這樣到直線(xiàn)AB的距離為$\frac{4}{5}$的直線(xiàn)有兩條，這兩條直線(xiàn)與橢圓都相交，分別有兩個(gè)交點(diǎn)，共4個(gè)，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，三角形的面積公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題，