Question

已知函數f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函數的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數的減區(qū)間，即可得到函數的極小值；
（Ⅱ）由f（x）的解析式化簡不等式，得到當t≥1時，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1時，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立即要求出

2(t-1)2

ln t2 2t-1

的最小值即可得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f(x)=x2+2x-4lnx?f′(x)=2x+2-

4

x

．由函數的定義域為x＞0，
∴f'（x）＞0?x＞1，f'（x）＜0?0＜x＜1．∴函數f（x）有極小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f(2t-1)≥2f(t)-3?2t2-4t+2≥2alnt-aln(2t-1)=aln

t2

2t-1

．
當t≥1時，t²≥2t-1，∴ln

t2

2t-1

≥0．即t＞1時，a≤

2(t-1)2

ln t2 2t-1

恒成立．又易證ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln

t2

2t-1

=ln[1+

(t-1)2

2t-1

]≤

(t-1)2

2t-1

＜(t-1)2在t＞1上恒成立．當t=1時取等號，∴當t≥1時，ln

t2

2t-1

≤(t-1)2，∴由上知a≤2．故實數a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及函數恒成立時所取的條件．考查考生的運算、推導、判斷能力．